Question

己知函數(shù)f（x）=x²e^-x
（Ⅰ）求f（x）的極小值和極大值；
（Ⅱ）當(dāng)曲線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí)，求l在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f^′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，即可求出函數(shù)的極值；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²e^-x，∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）與（2，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)．
∴x=0是極小值點(diǎn)，x=2極大值點(diǎn)，又f（0）=0，f（2）=．
故f（x）的極小值和極大值分別為0，．
（II）設(shè)切點(diǎn)為（），
則切線方程為y-=（x-x），
令y=0，解得x==，
因?yàn)榍�線y=f（x）的切線l的斜率為負(fù)數(shù)，∴（＜0，∴x＜0或x＞2，
令，
則=．
①當(dāng)x＜0時(shí)，0，即f^′（x）＞0，∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x）＜f（0）=0；
②當(dāng)x＞2時(shí)，令f^′（x）=0，解得．
當(dāng)時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，也即最小值，且=．
綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（-∞，0）∪．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線、函數(shù)的值域，綜合性強(qiáng)，考查了推理能力和計(jì)算能力．