Question

17．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于D，交△ABC的外接圓于E，延長AC到F，使得AC•AF=AD•AE，連按EF．
（1）求證：C、D、E、F四點共圓；
（2）求證：AC•DE=EF•CD．

Answer 1

分析 （1）利用三角形相似，證明∠ACD=∠AEF，即可證明C、D、E、F四點共圓；
（2）證明△AEB≌△AEF，EB=EF，利用△ACD∽△BED，即可證明結論．

解答 證明：（1）∵AC•AF=AD•AE，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AF}$，
∵∠CAD=∠EAF，
∴△CAD∽△EAF，
∴∠ACD=∠AEF，
∴C、D、E、F四點共圓；
（2）由（1）可得∠ACD=∠AEF，
∵∠ACD=∠BED，
∴∠AEF=∠BED，
∴∠AEF=∠AEB，
∵AE=AE，∠BAE=∠FAE，
∴△AEB≌△AEF，
∴EB=EF，
∵△ACD∽△BED，
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$，
∴AC•DE=BE•CD
∴AC•DE=EF•CD．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，正確證明三角形相似是關鍵．