在△ABC中，已知
AB
•
AC
=3
BA
•
BC
．
（1）求證：tanB=3tanA；
（2）若tanC=2，求A的值．
分析：（1）由題意可得AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，即AC•cosA=3BC•cosB，結合正弦定理可得sinBcosA=3cosBsinA，同除以cosAcosB可得答案；（2）由已知可得
tanA+tanB
1-tanA•tanB
=-2，代入（1）得
4tanA
1-tan2A
=-2，解得tanA=1或tanA=-
1
3
，結合cosA＞0，可得答案．
解答：解：（1）因為
AB
•
AC
=3
BA
•
BC
，所以AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，…（2分）
即AC•cosA=3BC•cosB，由正弦定理知
AC
sinB
=
BC
sinA

從而sinBcosA=3cosBsinA…（4分）
因為A、B∈（0，π），結合上式可得cosA，cosB同號，只能為正，
同除以cosAcosB可得tanB=3tanA…（6分）
（2）因為tanC=2，所以tan[π-（A+B）]=2即tan（A+B）=-2…（8分）
即
tanA+tanB
1-tanA•tanB
=-2，由（1）得
4tanA
1-3tan2A
=-2
解得tanA=1或tanA=-
1
3
…（12分）
因為cosA＞0，故tanA=1，所以A=
π
4
…（13分）
點評：本題考查三角函數(shù)的運算，涉及向量的數(shù)量積，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求tg（
A
2
）+
3
tg（
A
2
）tg（
C
2
）+tg（
C
2
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=
2
，則B等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=
3
，b=
2
，1+2cos（B+C）=0，求：
（1）角A，B； 
（2）求BC邊上的高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知A=60°，
AB
•
AC
=1，則△ABC的面積為
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=
34
．
（1）求AB的長；
（2）求sinA的值．

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