Question

已知數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，數列{b_n}的前n項和為S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求證：數列{

1

bn

}為等差數列，并求通項b_n；
（Ⅱ）試判斷數列{T_n}的單調性，并證明．
（Ⅲ）求證：當n≥2時，S2n≥

7n+11

12

．

Answer 1

分析：（I）將兩個已知等式結合得到關于數列{b_n}的項的遞推關系，構造新數列，利用等差數列的通項公式求出

1

bn

，進一步求出b_n．
（II）表示出T_n，T_n+1，求出T_n+1-T_n，通過放縮法，判斷出此差的符號，判斷出T_n+1，T_n兩者的大小，即可得到結論；
（Ⅲ）利用數學歸納法證明即可．

解答：（Ⅰ）證明：由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
整理，得b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，
從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴數列{

1

bn

}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴

1

bn

=n，∴b_n=

1

n

；
（Ⅱ）解：數列{T_n}單調遞增
∵S_n=1+

1

2

+…+

1

n

，
∴T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴T_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴T_n+1＞T_n，
∴數列{T_n}單調遞增；
（Ⅲ）證明：①當n=2時，S22=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

=

25

12

=

7×2+11

12

，結論成立；
②設n=k時，結論成立，即1+

1

2

+…+

1

2k

≥

7k+11

12

，
則n=k+1時，S2k+1=1+

1

2

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

≥

7k+11

12

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

7k+11

12

+

1

3

+

1

4

=

7(k+1)+11

12

，即n=k+1時，結論成立
∴當n≥2時，S2n≥

7n+11

12

．

點評：本題考查了數列和不等式的綜合應用，考查數列的通項，考查數列的單調性，考查不等式的證明，綜合性強．