Question

中國(guó)人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測(cè)算顯示中國(guó)是世界上人口老齡化速度最快的國(guó)家之一，再不實(shí)施“放開二胎”新政策，整個(gè)社會(huì)將會(huì)出現(xiàn)一系列的問題．若某地區(qū)2012年人口總數(shù)為45萬，實(shí)施“放開二胎”新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2013年開始到2022年每年人口比上年增加0.5萬人，從2023年開始到2032年每年人口為上一年的99%．
（Ⅰ）求實(shí)施新政策后第n年的人口總數(shù)a_n的表達(dá)式（注：2013年為第一年）；
（Ⅱ）若新政策實(shí)施后的2013年到2032年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施．問到2032年后是否需要調(diào)整政策？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)從2013年開始到2022年每年人口比上年增加0.5萬人，從2023年開始到2032年每年人口為上一年的99%，可得分段函數(shù)；
（Ⅱ）從2013年到2032年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式，可求S₂₀，從而可得新政策實(shí)施到2032年年人口均值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n≤10時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為45.5，公差為0.5的等差數(shù)列，
∴a_n=45.5+0.5×（n-1）=45+0.5n              …（2分）
當(dāng)n≥11時(shí)，數(shù)列{a_n}是以公比為0.99的等比數(shù)列，又a_n=50
∴a_n=50×0.99^n-10                                        …（4分）
因此，新政策實(shí)施后第n年的人口總數(shù)a_n（單位：萬元）的表達(dá)式為
a_n=

45+0.5n，1≤n≤10 50+0.99n-10，11≤n≤20

                           …（6分）
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則從2013年到2032年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得：
S₂₀=S₁₀+（a₁₁+a₁₂+1+a₂₀）=477.5+4950×（1-0.99¹⁰）≈972.5萬…（10分）
（說明：0.99¹⁰=（1-0.01）¹⁰≈0.9）
∴新政策實(shí)施到2032年年人口均值為

S20

20

≈48.62 萬             …（12分）
由

S20

20

＜49，故到2032年不需要調(diào)整政策．                     …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查利用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．