Question

20．定義：如果函數(shù)f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）滿足$f'（{x_1}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，$f'（{x_2}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“中值函數(shù)”．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+m$是[0，m]上的“中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $（{\frac{3}{4}，1}）$
• B． $（{\frac{3}{4}，\frac{3}{2}}）$
• C． $（{1，\frac{3}{2}}）$
• D． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 由新定義可知f′（x₁）=f′（x₂）=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$，即方程x²-x=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$在區(qū)間（0，m）有兩個(gè)解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答 解：由題意可知，
在區(qū)間[0，m]存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿足f′（x₂）=$f′（{x}_{1}）=\frac{f（m）-f（0）}{m}$=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$，
∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+m$，
∴f′（x）=x²-x，
∴方程x²-x=$\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{1}{2}m$在區(qū)間（0，m）有兩個(gè)解．
令g（x）=x²-x-$\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m$，（0＜x＜m）
則 $\left\{\begin{array}{l}△=1-4（-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m）＞0\\ g（0）=-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m＞0\\ g（m）={m}^{2}-m-\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{1}{2}m＞0\\ m＞0\end{array}\right.$
解得 $\frac{3}{4}$＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，二次函數(shù)的性質(zhì)與方程根的關(guān)系，屬于中檔題