Question

給定有限個正數(shù)滿足條件：每個數(shù)都不大于50且總和＝1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進行分組，每組數(shù)之和不大于150且分組的步驟是：

    首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差與所有可能的其他選擇相比是最小的，稱為第一組余差；

    然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時的余差為；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組（余差為）、第四組（余差為）、……，直至第組（余差為）把這些數(shù)全部分完為止.

   （I）判斷的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數(shù)

   (II)當構(gòu)成第組后，指出余下的每個數(shù)與的大小關(guān)系，并證明;

   (III)對任何滿足條件T的有限個正數(shù)，證明：.

Answer 1

  解：（I）.除第N組外的每組至少含有個數(shù).

    （II）當?shù)?i>n組形成后，因為，所以還有數(shù)沒分完，這時余下的每個數(shù)必大于余差，余下數(shù)之和也大于第n組的余差，即

    ,

    由此可得.

    因為，所以.

    （III）用反證法證明結(jié)論，假設(shè)，即第11組形成后，還有數(shù)沒分完，由（I）和（II）可知，余下的每個數(shù)都大于第11組的余差，且,

    故余下的每個數(shù) .   （*）

    因為第11組數(shù)中至少含有3個數(shù)，所以第11組數(shù)之和大于,

    此時第11組的余差,

    這與（*）式中矛盾，所以.