Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，S_n為其前n項和，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）證明S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)a₁=1，求${a_2}+{a_4}+{a_8}+…+{a_{2^n}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出S₁，S₃，S₉，得到$S_3^2={S_1}•{S_9}$，即可證明結(jié)果．
（Ⅱ）求出數(shù)列的通項公式，利用拆項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：由題意有$a_2^2={a_1}•{a_5}$，即${（{{a_1}+d}）^2}={a_1}•（{{a_1}+4d}）$，解得d=2a₁，…（3分）
又S₁=a₁，S₃=3a₁+3d=9a₁，S₉=9a₁+36d=81a₁，…（4分）
即$S_3^2={S_1}•{S_9}$，…（5分）
又∵S₁，S₃，S₉均不為零，
所以S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列．…（6分）
（Ⅱ）a₁=1，由（Ⅰ）可知d=2，所以a_n=2n-1，…（7分）
所以${a_{2^n}}=2•{2^n}-1$…（8分）
原式=${a_2}+{a_{2^2}}+{a_{2^3}}+…{a_{2^n}}=（{2•2-1}）+（{2•{2^2}-1}）+（{2•{2^3}-1}）+…+（{2•{2^n}-1}）$…（10分）
=2（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=$2×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n$
=2ⁿ⁺²-n-4…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計算能力．