已知集合,其中,由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合:.其中是有序數(shù)對(duì),集合中的元素個(gè)數(shù)分別為.若對(duì)于任意的,總有,則稱集合具有性質(zhì)
(I)檢驗(yàn)集合是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合,寫(xiě)出相應(yīng)的集合;
(II)對(duì)任何具有性質(zhì)的集合,證明:
(III)判斷的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(I);
(II)
(III)
解:集合不具有性質(zhì)
集合具有性質(zhì),其相應(yīng)的集合,

(II)證明:首先,由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)共有個(gè).
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823150410101452.png" style="vertical-align:middle;" />,所以;
又因?yàn)楫?dāng)時(shí),時(shí),,所以當(dāng)時(shí),
從而,集合中元素的個(gè)數(shù)最多為,

(III)解:,證明如下:
(1)對(duì)于,根據(jù)定義,,,且,從而
如果的不同元素,那么中至少有一個(gè)不成立,從而中也至少有一個(gè)不成立.
也是的不同元素.
可見(jiàn),中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù),即,
(2)對(duì)于,根據(jù)定義,,且,從而.如果的不同元素,那么中至少有一個(gè)不成立,從而中也不至少有一個(gè)不成立,
也是的不同元素.
可見(jiàn),中元素的個(gè)數(shù)不多于中元素的個(gè)數(shù),即,
由(1)(2)可知,
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