Question

【題目】大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)在高二年級(jí)舉辦線(xiàn)上數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，在已報(bào)名的400名學(xué)生中，根據(jù)文理學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）估算一下本次參加考試的同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；

（3）已知樣本中有一半理科生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中理科生和文科生人數(shù)的比例．

Answer 1

【答案】（1）中位數(shù)72.5，眾數(shù)75；（2）20人；（3）3:2

【解析】

（1）由頻率分布直方圖知，樣本中分?jǐn)?shù)低于50分的頻率為0.1，可以估計(jì)中位數(shù)為：，眾數(shù)則由直方圖即可得出；

（2）由（1）得樣本中分?jǐn)?shù)低于50分的頻率為0.1，可求出樣本中分?jǐn)?shù)低于50分的人數(shù)，而樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，即可求出樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)，進(jìn)而可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)；

（3）根據(jù)頻率分布直方圖，得出樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為：人，結(jié)合題中條件，即可求出100個(gè)樣本中理科生人數(shù)為60人，女生人數(shù)為40人，最后根據(jù)分層抽樣的原理，即可估計(jì)總體中理科生和文科生人數(shù)的比例.

解：（1）由頻率分布直方圖知，樣本中分?jǐn)?shù)低于50分的頻率為：

，

在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]的頻率分別為：0.1，0.2，0.4，0.2，

觀察可知，中位數(shù)位于[70，80]內(nèi)，

則可以估計(jì)中位數(shù)為：，

則眾數(shù)為：.

（2）由（1）得樣本中分?jǐn)?shù)低于50分的頻率為0.1，

所以樣本中分?jǐn)?shù)低于50分的人數(shù)為：人，

而樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，

所以樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為：10-5=5人，

根據(jù)分層抽樣，可估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為：人.

（3）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的人數(shù)為：人，

而樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的文理科生人數(shù)相等，

則樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的文科人數(shù)為30人，理科人數(shù)為30人，

而樣本中有一半理科生的分?jǐn)?shù)不小于70，

則100個(gè)樣本中理科生人數(shù)為：人，文科人數(shù)為40人，

根據(jù)分層抽樣的原理，可估計(jì)出總體中理科生和文科生人數(shù)的比例為：60：40=3:2.