Question

18．一袋中有a個白球和b個黑球．從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補一個白球放到袋中．在重復(fù)n次這樣的操作后，記袋中白球的個數(shù)為X_n．
（1）求EX₁；
（2）設(shè)P（X_n=a+k）=p_k，求P（X_n+1=a+k），k=0，1，…，b；
（3）證明：$E{X_{n+1}}=（1-\frac{1}{a+b}）E{X_n}+1$．

Answer 1

分析 （1）n=1時，袋中的白球的個數(shù)可能為a個（即取出的是白球），也可能為a+1個（即取出的是黑球），由此能求出EX₁．
（2）$P（{X_{n+1}}=a+0）={P_0}•\frac{a}{a+b}$，k≥1時，第n+1次取出來有a+k個白球的可能性有兩種；第n次袋中有a+k個白球，a+b個白球，第n+1次取出來的也是白球；第n次袋中有a+k-1個白球，第n+1次取出來的是黑球，由于每次球的總數(shù)為a+b個，此時黑球的個數(shù)為b-k+1．由此能求出P（X_n+1=a+k），k=0，1，…，b．
（3）第n+1次白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類：第n次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即EX_n．由于白球和黑球的總個數(shù)為a+b，第n+1次取出來的是白球；第n+1次取出來的是黑球．由此能證明：$E{X_{n+1}}=（1-\frac{1}{a+b}）E{X_n}+1$．

解答 解：（1）n=1時，袋中的白球的個數(shù)可能為a個（即取出的是白球），概率為$\frac{a}{a+b}$；
也可能為a+1個（即取出的是黑球），概率為$\frac{a+b}$，
故$E{X_1}=a•\frac{a}{a+b}+（a+1）•\frac{a+b}=\frac{{{a^2}+ab+b}}{a+b}$．
（2）首先，$P（{X_{n+1}}=a+0）={P_0}•\frac{a}{a+b}$；
k≥1時，第n+1次取出來有a+k個白球的可能性有兩種；
第n次袋中有a+k個白球，顯然每次取出球后，球的總數(shù)保持不變，
即a+b個白球（故此時黑球有b-k個），第n+1次取出來的也是白球，
這種情況發(fā)生的概率為${P_k}•\frac{a+k}{a+b}$；
第n次袋中有a+k-1個白球，第n+1次取出來的是黑球，由于每次球的總數(shù)為a+b個，
故此時黑球的個數(shù)為b-k+1．
這種情況發(fā)生的概率為${P_{k-1}}•\frac{b-k+1}{a+b}（k≥1）$．
故$P（{X_{n+1}}=a+k）={P_k}•\frac{a+k}{a+b}+{P_{k-1}}•\frac{b-k+1}{a+b}（k≥1）$．
（3）第n+1次白球的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類：
第n次白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即EX_n．由于白球和黑球的總個數(shù)為a+b，第n+1次取出來的是白球，
這種情況發(fā)生的概率是$\frac{{E{X_n}}}{a+b}$；
第n+1次取出來的是黑球，這種情況發(fā)生的概率是$\frac{{a+b-E{X_n}}}{a+b}$，
此時白球的個數(shù)是EX_n+1．
故$E{X_{n+1}}=\frac{{E{X_n}}}{a+b}E{X_n}+\frac{{a+b-E{X_n}}}{a+b}•（E{X_n}+1）=\frac{{{{（E{X_n}）}^2}}}{a+b}+（1-\frac{{E{X_n}}}{a+b}）（E{X_n}+1）$
=EX_n+1-$\frac{E{X}_{n}}{a+b}$．
∴：$E{X_{n+1}}=（1-\frac{1}{a+b}）E{X_n}+1$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法及證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．