Question

已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）求滿足(1+a)-

2m

3

＜(1-2a)-

2m

3

的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3在（0，+∞）上是減函數(shù)，知m²-2m-3＜0，由此能求出m．
（2）由m=1，知滿足(1+a)-

2m

3

＜(1-2a)-

2m

3

的a即滿足(1+a)-

2

3

＜(1-2a)-

2

3

．由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，
解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，∴m=1，或m=2．
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=x^-4，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
符合題意；
當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x^-3是奇函數(shù)，不符合題意，
∴m=1．
（2）∵m=1，
∴滿足(1+a)-

2m

3

＜(1-2a)-

2m

3

的a即滿足(1+a)-

2

3

＜(1-2a)-

2

3

．
∵y=x-

2

3

為偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上單調(diào)減，
∴

|1+a|＞|1-2a| 1+a≠0 1-2a≠0

，即

(1+a)2＞(1-2a)2 a≠-1 a≠ 1 2

，
從而0＜a＜2且a≠

1

2

，
故a的取值范圍是（0，

1

2

）∪(

1

2

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．