Question

11．是否存在常數a，b，c使等式1•（n²-1）+2•（n²-2²）+…+n•（n²-n²）=n²（an²-b）+c對一切n∈N^*都成立？
并證明的結論．

Answer 1

分析 可假設存在常數a，b使等式1•（n²-1）+2•（n²-2²）+…+n•（n²-n²）=n²（an²-b）+c對于任意的n∈N₊總成立，令n=1與n=2，n=3列方程解得a，b，c再用數學歸納法證明．

解答 解：n=1時，a-b+c=0，
n=2時，16a-4b+c=3，
n=3時，81a-9b+c=18
解得 $a=\frac{1}{4}$$b=\frac{1}{4}$c=0，
證明（1）當n=1是左邊=0，右邊=0 左邊=右邊，等式成立． 
（2）假設n=k時（k≥1，k∈N^*）等式成立，即$1•（{k^2}-1）+2•（{k^2}-{2^2}）+…+k•（{k^2}-{k^2}）=\frac{1}{4}{k^2}（{k^2}-1）$，
則當n=k+1時1•[（k+1）²-1]+2•[（k+1）²-2²]+…+k•[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]，
=1•（k²-1）+2•（k²-2²）+…+k•（k²-k²）+（1+2+…+k）（2k+1），
=$\frac{1}{4}{k^2}（{k^2}-1）+\frac{k（1+k）}{2}（2k+1）$，
=$\frac{1}{4}k（k+1）（{k^2}+3k+2）$
=$\frac{1}{4}k（k+1）（{k^2}+3k+2）$
=$\frac{1}{4}k{（k+1）^2}（k+2）$
所以當n=k+1時等式也成立． 
綜上（1）（2）對于k≥1，k∈N^*所有正整數都成立．

點評 本題考查數學歸納法，對于本題“是否存在”型的問題，先假設存在，通過題意求得a、b，c的值，再用數學歸納法予以證明，難點在于n=k+1時，等式成立的證明，要用好歸納假設，屬于中檔題．