Question

已知拋物線C:y=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F的直線l與C交于 A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

（1）求·的值；（2）設(shè)=，求△ABO的面積S的最小值；

（3）在（2）的條件下若S≤，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）-3（2）2（3）≦≦

【解析】本試題主要是考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的運(yùn)用。以及向量的共線得到坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而化簡(jiǎn)求解參數(shù)的范圍。

（1）因?yàn)楦鶕?jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（1,0），設(shè)直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x可得y²-4my-4=0，集合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積為零得到求解。

（2）因?yàn)榻o定的向量關(guān)系式中，利用坐標(biāo)相等得到關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而結(jié)合不等式的思想得到最值。

(3)由上一問可知，參數(shù)的范圍。

解：⑴根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)F（1,0），設(shè)直線l的方程為x=my+1，將其與C的方程聯(lián)立，消去x可得-4my-4=0.

設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，），（，）（﹥0﹥），則=-4.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811330048779281/SYS201209081133264470151604_DA.files/image010.png">=4，=4，所以==1，

故·=+=-3    ………………………………………………4分

(2)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811330048779281/SYS201209081133264470151604_DA.files/image016.png">=，所以（1-，-）=（-1，）即  1-=-①

                                                            -=②

又=4③  =4④ ，由②③④消去，后，得到=，將其代入①，注意到﹥0，解得=。

從而可得=-，=2，故△OAB的面積S=·=

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012090811330048779281/SYS201209081133264470151604_DA.files/image024.png">≧2恒成立,故△OAB的面積S的最小值是2………(8分).(3)由 ≦解之的≦≦    ………………………………………………12分