已知f(x)=
x
，g（x）=x+a  （a＞0）
（1）當a=4時，求|
f(x)-ag(x)
f(x)
|的最小值
（2）當1≤x≤4時，不等式|
f(x)-ag(x)
f(x)
|＞1恒成立，求a的取值范圍．
分析：（1）當a=4時，先研究函數(shù)F(x)=
f(x)-ag(x)
f(x)
的值域，再求|
f(x)-ag(x)
f(x)
|的最小值；
（2）首先可化簡為|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-ax -a2
x
|=|1-(a
x
+
a2
x
) |（1≤x≤4），設t=
x
，則問題等價于|1-(at+
a2
t
) |＞1，t∈[1，2]時恒成立，即at+
a2
t
＜0或at+
a2
t
＞2，t∈[1，2]時恒成立，再考查對勾函數(shù)的單調性，從而建立不等式，求解即可．
解答：解：（1）當a=4時，|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-4x -16
x
|=|1-(4
x
+
16
x
) |
∵
x
＞0，∴4
x
+
16
x
≥ 16，當
x
=
4
x
，即x=4時，取“=”號
故|
f(x)-ag(x)
f(x)
|的最小值為15；
（2）|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-ax -a2
x
|=|1-(a
x
+
a2
x
) |（1≤x≤4）
設t=
x
，則問題等價于|1-(at+
a2
t
) |＞1，t∈[1，2]時恒成立，
即at+
a2
t
＜0或at+
a2
t
＞2，t∈[1，2]時恒成立，
令 h(t)=a(t+
a
t
)，則只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，
由函數(shù) y=x+
a
x
的單調性知
a
＞2
h(t)min=h(2)＞2
或
1≤
a
≤2
h(t)min=h(
a
)＞2
或
0＜
a
＜1
h(t)min=h(1)＞2
，
a
＞2
h(t)max=h(1)＜0
或
1≤
a
≤2
h(t)max=h(1)＜0
h(2)＜0
或
0＜
a
＜1
h(t)max=h(2)＜0
或a＜0
解得a＞1或a＜0
點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，考查學生基本不等式在最值問題中的應用、利用整體代換的數(shù)學思想解決數(shù)學問題的能力，以及不等式恒成立的證明方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若數(shù)學公式，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間數(shù)學公式上的值域為數(shù)學公式，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）,y（x）的定義域都是R，則“x∈R,f（x）＞g（x）”為真命題的充要條件是（　�。�

A.有一個x∈R,使f（x）＞g（x）

B.有無數(shù)多個x∈R,使f（x）＞g（x）

C.對R中任意的x值，使f（x）＞g（x）+1

D.R中不存在x，使f（x）≤g（x）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）,y（x）的定義域都是R，則“x∈R,f（x）＞g（x）”為真命題的充要條件是（　�。�

A.有一個x∈R,使f（x）＞g（x）

B.有無數(shù)多個x∈R,使f（x）＞g（x）

C.對R中任意的x值，使f（x）＞g（x）+1

D.R中不存在x，使f（x）≤g（x）

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學第一輪基礎知識訓練（20）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調性；
（Ⅲ）若，設g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間上的值域為，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x+t-2)(a>0，a≠1，t∈R)．
(1)當t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)-f(x)有最小值2時，求a的值；
(2)當0<a<1，x∈[1,2]時，有f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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