Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公差為d，其前n項和為S_n，若直線y=a₁x+m與圓x²+（y-1）²=1的兩個交點關(guān)于直線x+2y-d=0對稱，則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前100項和=$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 通過直線y=a₁x+m與直線x+2y-d=0垂直可知a₁=2，利用直線x+2y-d=0必過圓心可知d=2，進而裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并項相加即得結(jié)論．

解答 解：依題意，直線x+2y-d=0的斜率為-$\frac{1}{2}$，
則-$\frac{1}{2}$a₁=-1，即a₁=2，
又∵直線y=a₁x+m與圓x²+（y-1）²=1的兩個交點關(guān)于直線x+2y-d=0對稱，
∴直線x+2y-d=0必過圓心，
即0+2-d=0，d=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公差均為2的等差數(shù)列，
∴S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$•2=n（n+1），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴所求值為1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$，
故答案為：$\frac{100}{101}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．