Question

已知A（-2，0），B（2，0），動點P滿足∠APB=θ，且．
（1）求動點P的軌跡C；
（2）設過M（0，1）的直線l（斜率存在）交P點軌跡C于P、Q兩點，B₁、B₂是軌跡C與y軸的兩個交點，直線B₁P與B₂Q交于點S，試問：當l轉(zhuǎn)動時，點S是否在一條定直線上？若是，請寫出這直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)余弦定理求出|PA|+|PB|的值，驗證軌跡C為橢圓方程，從而得到答案．
（2）先假設出直線l的方程，然后與（1）所求的橢圓方程聯(lián)立消去y求出兩根之和與兩根之積，再表示出B₁P、B₂Q的關系式二者聯(lián)立消去x得到y(tǒng)的關系式，最后將求出的兩根之和與兩根之積代入即可得到答案．
解答：解：（1）由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cosθ
即
∴
∴動點P的軌跡C是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓，方程為
（2）設l為y=kx+1，則與聯(lián)立得（1+2k²）x²+4kx-6=0
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則
聯(lián)立得
即==
這說明當l轉(zhuǎn)動時，點S恒在定直線y=4上
點評：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題．一般是直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去y，得到兩根之和與兩根之積的關系式，再結(jié)合題中所給條件解題．