Question

如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長(zhǎng)為1的正方體，P-A₁B₁C₁D₁是四棱錐，點(diǎn)P在平面CC₁DD₁內(nèi)，PD₁=PC₁=

5

2

．
（I）證明：PA₁∥平面ABC₁D₁；
（II）求點(diǎn)P到平面ABC₁D₁的距離．

Answer 1

分析：（1）作作PM⊥C₁D₁于M點(diǎn)，證四邊形AMPA₁是平行四邊形，得PA₁∥AM，再由直線與平面平行的判定定理即可證得結(jié)論成立．
（2）由（1）知PA₁∥平面ABC₁D₁，故P點(diǎn)到面的距離就得于A₁到面的距離．

解答：（1）證明：作PM⊥C₁D₁于M點(diǎn)，則M為C₁D₁的中點(diǎn)，連接AM．
∵平面PC₁D₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴PM⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵PD₁=PC₁=

5

2

．
∴PM=

PD12-D1M2

=

( 5 2 )2-( 1 2 )2

=1
∴PM∥AA₁且PM=AA₁
∴四邊形AMPA₁是平行四邊形
∴PA₁∥AM
∵PA₁?平面ABC₁D₁，AM?平面ABC₁D₁，
∴PA₁∥平面ABC₁D₁
（2）解：連接A₁D，則A₁D⊥AD₁，設(shè)垂足為O．
∵平面ABC₁D₁⊥平面ADD₁A₁，平面ABC₁D₁∩平面ADD₁A₁=AD₁
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁
易得點(diǎn)A₁到平面ABC₁D₁的距離A1O=

2

2

由（1）知：PA₁∥平面ABC₁D₁
∴點(diǎn)P到平面ABC₁D₁的距離即為點(diǎn)A₁到平面ABC₁D₁的距離．
∴點(diǎn)P到平面ABC₁D₁的距離為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)、點(diǎn)到面的距離的求法．