Question

6．已知命題P：關(guān)于x的方程x²-（a+3）x+a+3=0有兩個(gè)不等正實(shí)根；命題Q：不等式ax²-（a+3）x-1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立．若P∨Q是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出關(guān)于p，q成立的a的范圍，從而求出P∨Q是真命題時(shí)的a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵命題P：關(guān)于x的方程x²-（a+3）x+a+3=0有兩個(gè)不等正實(shí)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=a+3＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=a+3＞0}\\{△{=（a+3）}^{2}-4（a+3）＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞1，
又∵命題Q：不等式ax²-（a+3）x-1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，
當(dāng)a=0時(shí)：不等式變?yōu)椋?3x-1≤0，解得：x≥-$\frac{1}{3}$，顯然不符合題意，
當(dāng)a≠0時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△{=（a+3）}^{2}+4a＜0}\end{array}\right.$，解得：-9＜a＜-1，
若P∨Q是真命題，則實(shí)數(shù)a的范圍是：-9＜a＜-1或a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．