Question

3．已知圓${C_1}：{x^2}+{y^2}+2x=0$，圓${C_2}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-2=0$，C₁，C₂分別為兩圓的圓心．
（Ⅰ）求圓C₁和圓C₂的公共弦長；
（Ⅱ）過點(diǎn)C₁的直線l交圓C₂與A，B，且$AB=\sqrt{14}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）兩圓相減可得公共弦方程，即可求圓C₁和圓C₂的公共弦長；
（Ⅱ）圓C₂的圓心為（1，1），半徑為2，圓心到直線l的距離為$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）兩圓相減可得2x+y+1=0，
圓C₁的圓心為（-1，0），半徑為1，圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴圓C₁和圓C₂的公共弦長=2$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）圓C₂的圓心為（1，1），半徑為2，圓心到直線l的距離為$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，∴$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k=1或$\frac{1}{7}$，
∴直線l的方程為y=x+1，或y=$\frac{1}{7}$（x+1）．

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．