Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AC=2，AB⊥AC，A₁C₁⊥BC₁側(cè)棱與底面成60°角．
（1）求證：AC⊥平面ABC₁；
（2）求證：C₁在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）求此三棱柱體積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)棱柱的性質(zhì)，我們可得A₁C₁∥AC，又由已知中A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，我們根據(jù)線面垂直的判定定理可得AC⊥面ABC₁；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，由線面垂直的判定定理可得平面ABC⊥平面ABC₁，在平面ABC₁內(nèi)，過(guò)C₁作C₁H⊥AB于H，則C₁H⊥平面ABC，即C₁點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上；
（3）連接HC，由（2）的結(jié)論可得C₁H⊥平面ABC，即∠C₁CH就是側(cè)棱CC₁與底面所成的角，由已知中側(cè)棱與底面成60°角，故可得當(dāng)CH=AC時(shí)，棱柱的體積取最小值，求出棱柱的底面積和高，代入棱柱體積公式即可得到答案．

解答： 證明：（1）由棱柱性質(zhì)，可知A₁C₁∥AC，∵A₁C₁⊥BC₁，
∴AC⊥BC₁，又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC₁
（2）由（1）知AC⊥平面ABC₁，又AC?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC₁，
在平面ABC₁內(nèi)，過(guò)C₁作C₁H⊥AB于H，則C₁H⊥平面ABC
故點(diǎn)C₁在平面ABC上的射影H在直線AB上．
解：（3）連接HC，由（2）知C₁H⊥平面ABC，
∴∠C₁CH就是側(cè)棱CC₁與底面所成的角，
∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH•tan60°=

3

CH
V_棱柱=S_△ABC•C₁H=

1

2

×3×2×

3

CH=3

3

CH
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
所以棱柱體積最小值3

3

×2=6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，棱柱的體積，空間線面關(guān)系，其中熟練掌握空間直線與平面平行或垂直的判定、性質(zhì)、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．