Question

橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），且橢圓過(guò)點(diǎn)P（1，-

3

2

）．
（1）求橢圓方程；
（2）若 A為橢圓的左頂點(diǎn)，作AM⊥AN與橢圓交于兩點(diǎn)M、N，試問(wèn)：直線MN是否恒過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），先求出c=

3

，b²=1，a²=4，從而可得橢圓方程；
（2）由已知直線MN與y軸不垂直，假設(shè)其過(guò)定點(diǎn)T（a，0），設(shè)其方程為x=my+a，得（m²+4）y²+2amy+a²-4=0；設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂y₂），有

AM

•

AN

=0，即（x₁+2，y₁）•（x₂+2）=0，整理得a=-

6

5

，故直線MN過(guò)定點(diǎn)T(-

6

5

，0)．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），且橢圓過(guò)點(diǎn)P（1，-

3

2

）．
∴

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=

3

，b²=1，a²=4．
∴橢圓方程為

x2

4

+y²=1．
（2）由已知直線MN與y軸不垂直，假設(shè)其過(guò)定點(diǎn)T（a，0），設(shè)其方程為x=my+a
由

x=my+a x2 4 +y2=1

得（m²+4）y²+2amy+a²-4=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂y₂），則y1+y2=-

2am

m2+4

y1•y2=

a2-4

m2+4

∴x₁+x₂=my₁+a+my₂+a=m（y₁+y₂）+2ax1•x2=(my1+a)(my2+a)=m2y1y2+am(y1+y2)+a2
∵AM⊥AN，∴

AM

•

AN

=0，即（x₁+2，y₁）•（x₂+2）=0
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0
∴(m2+1)y1y2+m(a+2)(y1+y2)+(a+2)2=0
即

(m2+1)(a+2)(a-2)

m2+4

-

2am2(a+2)

m2+4

+(a+2)2=0
若a=-2，則T與A重合，不合題意，∴a+2≠0，整理得a=-

6

5

綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)T(-

6

5

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的性質(zhì)、方程，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．