Question

某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”則該課程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9、0.8、0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之間沒有影響.

（1）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；

（2）求這三人該課程考核都合格的概率.（結果保留三位小數(shù)）

Answer 1

解析：把甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格用幾個事件的和或積表示出來；把這三人該課程考核都合格用幾個事件的積表示出來，然后求它們的概率.

記“甲理論考核合格”為事件A₁;“乙理論考核合格”為事件A₂；“丙理論考核合格”為事件A₃；記事件為事件A_i的對立事件,i=1,2,3.

記“甲實驗考核合格”為事件B₁；“乙實驗考核合格”為事件B₂；“丙實驗考核合格”為事件B₃.

（1）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，記為事件C的對立事件.

方法1：P(C)=P(A₁A₂+A₁A₃+A₂A₃+A₁A₂A₃)=P(A₁A₂)+P(A₁A₃)+P(A₂A₃)

+P(A₁A₂A₃)=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7=0.902.

方法2：P(C)=1-P()=1-P()=

1-［P］=1-(0.1×0.2×0.3+0.9×0.2×0.3+0.1

×0.8×0.3+0.1×0.2×0.7)=1-0.098=0.902.

所以，理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902.

（2）記“三人該課程都合格”為事件D，

P(D)=P［(A₁·B₁)·(A₂·B₂)·(A₃·B₃)］

=P(A₁·B₁)·P(A₂·B₂)·P(A₃·B₃)

=P(A₁)·P(B₁)·P(A₂)·P(B₂)·P(A₃)·P(B₃)

=0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9

=0.254 016≈0.254.

所以，這三人該課程考核都合格的概率約為0.254.

小結:把復雜事件表示成幾個相對簡單事件的和、積或對立事件，轉化成用簡單事件的概率來求復雜事件的概率，這種轉化思想對求復雜事件的概率非常有用.