Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁，且AC=BC，點D是AB的中點．
（1）證明：AC₁∥平面B₁CD；
（2）證明：平面ABC₁⊥平面B₁CD．

Answer 1

證明：（I）設(shè)BC₁與B₁C相較于點E，連接DE．
由題意可得D、E分別是AB、BC₁的中點．
∴DE∥AC₁．
DE?平面B₁CD，A₁C?平面B₁CD．
∴A₁C∥平面B₁CD．
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA₁=BB₁=CC₁，
∴四邊形BCC₁B₁是菱形，
∴B₁C⊥BC₁．
由AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁，∴BB₁⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC．
∴BB₁⊥AB，
又∵AB=BC，且，
∴AB⊥BC．而AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C，
又AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁．
而B₁C?平面B₁CD，∴平面ABC₁⊥平面B₁CD．
分析：（I））設(shè)BC₁與B₁C相較于點E，連接DE．由三角形的中位線定理可得DE∥AC₁．利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）由菱形的性質(zhì)可得B₁C⊥BC₁，由線面垂直的判定和性質(zhì)定理可得AB⊥B₁C，于是得到B₁C⊥平面ABC₁．再利用面面垂直的判定定理即可得到面面垂直．
點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、菱形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．本題主要考查空間點線面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、邏輯推理能力．