Question

18．已知函數(shù)f（x）=2+log₂$\frac{1-x}{1+x}$
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關于x的方程f（x）=log₂k在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{2}$）上有實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）問：函數(shù)g（x）=f（x）-（x+1）是否有零點？如果有，設為x₀．請用二分法求出一個長度為$\frac{1}{4}$的區(qū)間（a，b）．使x₀∈（a，b）．要求寫出推理過程．如果沒有，請說明理由．（注：區(qū)間[a，b）的長度為b-a）

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)$\frac{1-x}{1+x}$＞0求得函數(shù)的定義域；
（2）先確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性得出k的取值范圍；
（3）運用二分法確定函數(shù)零點的區(qū)間；

解答 解：（1）∵f（x）=2+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
∴$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得x∈（-1，1），
所以，f（x）的定義域為（-1，1）；
（2）根據(jù)方程f（x）=2+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂k，
所以，$\frac{k}{4}$=$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
記g（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$，在x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，
因此，g（x）的值域為（3，+∞），
所以，$\frac{k}{4}$∈（3，+∞），解得k∈（12，+∞），
即實數(shù)k的取值范圍為：（12，+∞）；
（3）g（x）=f（x）-（x+1）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$-x+1，
由（2）可知f（x）單調(diào)遞減，所以g（x）也單調(diào)遞減，
且g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[1-log₂9]＜0，
所以，x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），再將區(qū)間二等分，中點為$\frac{1}{4}$，
則g（$\frac{1}{4}$）=log₂$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$[3-log₂$（\frac{5}{3}）^4$]=$\frac{1}{4}$[log₂8-log₂$\frac{625}{81}$]＞0，
因此，g（$\frac{1}{4}$）•g（$\frac{1}{2}$）＜0，
所以，存在x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）使得g（x₀）=0，此時區(qū)間長度恰好為$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，二分法，以及對數(shù)的運算性質，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．