Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得函數(shù)單調(diào)性，并求得函數(shù)的最小值，若函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)最小值小于零且在定義域范圍有函數(shù)值大于零，解不等式可得的范圍；(Ⅱ)將代入不等式化簡(jiǎn)為，可構(gòu)造函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性可知在 條件下 最小值為 ， 最大值為．可證命題．

試題解析：

(Ⅰ)法1: 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

由, 得.

因?yàn)?/span>,則時(shí), ; 時(shí), .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí), .

當(dāng), 即時(shí), 又, 則函數(shù)有零點(diǎn).

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

法2：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

由, 得.

令，則.

當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

故時(shí), 函數(shù)取得最大值.

因而函數(shù)有零點(diǎn), 則.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(Ⅱ) 要證明當(dāng)時(shí), ,

即證明當(dāng)時(shí), , 即.

令, 則.

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí), .

于是,當(dāng)時(shí), ①

令, 則.

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí), .

于是 當(dāng)時(shí), ②

顯然, 不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立.

故當(dāng)時(shí), .