Question

設(shè)點(diǎn)P是雙曲線與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由P是雙曲線與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點(diǎn)，推導(dǎo)出∠F₁PF₂=90°．再由|PF₁|=2|PF₂|，知|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，由此求出c=a，從而得到雙曲線的離心率．
解答：解：∵P是雙曲線與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|PO|=，
∴∠F₁PF₂=90°，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a，∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∴16a²+4a²=4c²，
∴c=a，
∴．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．