（2011•廣州模擬）已知函數(shù)f(x)=cos2x+
3
sinxcosx-
1
2
．
（Ⅰ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若f(
A
2
)=1，b=l，c=4，求a的值．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡可得f（x）=sin(2x+
π
6
)，結(jié)合0≤x≤
π
2
，可求sin（2x+
π
6
）的范圍，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值及取得最大值的x
（Ⅱ）由f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1，及0＜A＜π，可求A，結(jié)合b=1，c=4，利用余弦定理可求a
解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+
3
sinxcosx-
1
2
=
1+cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2
=sin(2x+
π
6
)．                          …（4分）
∵0≤x≤
π
2
，
∴
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1，即-
1
2
≤f(x)≤1．
∴f（x）max=1，此時2x+
π
6
=
π
2
，
∴x=
π
6
．        …（8分）
（Ⅱ）∵f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1，
在△ABC中，∵0＜A＜π，
π
6
＜A+
π
6
＜
7π
6
，
∴A+
π
6
=
π
2
，A=
π
3
．                       …（10分）
又b=1，c=4，
由余弦定理得a2=16+1-2×4×1×cos60°=13
故a=
13
．                …（12分）
點評：本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，及余弦定理解三角形的應(yīng)用．
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2
2
2
2
．

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