Question

如圖所示，在邊長為的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，，作，分別交，于點(diǎn)，，作，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．

（1）求證：平面； 

（2）求四棱錐的體積；

（3）求平面與平面所成角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）在正方形中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521090702682014/SYS201205252110571625133153_DA.files/image002.png">，

所以三棱柱的底面三角形的邊．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521090702682014/SYS201205252110571625133153_DA.files/image006.png">，，

所以，所以．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521090702682014/SYS201205252110571625133153_DA.files/image001.png">為正方形，，

所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521090702682014/SYS201205252110571625133153_DA.files/image013.png">平面，所以為四棱錐的高．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521090702682014/SYS201205252110571625133153_DA.files/image017.png">為直角梯形，且，，

所以梯形的面積為．

所以四棱錐的體積．-----------8分

(3)由(1)(2)可知，，，兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，、

 

 

則，，，，，

所以，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為．

則，即．

令，則．所以．

顯然平面的一個(gè)法向量為．

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，

則．

所以平面與平面所成角的余弦值為．

【解析】略