Question

8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，則下列命題正確的個數(shù)是①②③（寫出所有正確命題的編號）．
①若sinA＞sinB＞sinC則a＞b＞c；②若ab＞c²，則C＜$\frac{π}{3}$
③若a+b＞2c，則C＜$\frac{π}{3}$；④若（a²+b²）c²≤2a²b²，則C＞$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 ①利用正弦定理，可得結(jié)論；
②利用余弦定理，將c²放大為ab，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞$\frac{1}{2}$，從而證明C＜$\frac{π}{3}$；
③利用余弦定理，將c²放大，再結(jié)合均值定理即可證明cosC＞$\frac{1}{2}$，從而證明C＜$\frac{π}{3}$；
④只需舉反例即可證明其為假命題，

解答 解：①若sinA＞sinB＞sinC，利用正弦定理，可得a＞b＞c，正確；
②若ab＞c²，則cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥1-$\frac{{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{1}{2}$，∴C＜$\frac{π}{3}$，正確；
③若a+b＞2c，則cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{3{a}^{2}+3^{2}-2ab}{8ab}$≥$\frac{1}{2}$，∴C＜$\frac{π}{3}$，正確；
④取a=b=$\sqrt{2}$，c=1，滿足（a²+b²）c²＜2a²b²，此時有C＜$\frac{π}{3}$，錯誤；
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查了解三角形的知識，放縮法證明不等式的技巧，反證法和舉反例法證明不等式，有一定的難度，屬中檔題．