Question

設f（x）=

1

3

x³+mx²+nx，g（x）=f′（x）-2x-3的圖象關于x=-2對稱，
（1）若f′（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)的圖象與圖象變化,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用x=0處導數(shù)為零，g（x）圖象關于x=-2對稱列出方程組，解出m，n即可．
（2）先求導數(shù)，然后解導數(shù)大于零或小于零列出不等式求解得到原函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間，要注意對n進行討論．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=x²+2mx+n．
g（x）=x²+2（m-1）x+n-3，
因為g（x）的圖象關于x=-2對稱，所以1-m=-2，所以m=3．
又f′（x）=-2，所以n=-2．
所以f(x)=

1

3

x3+3x2+2x．
（2）設f′（x）=x²+6x+n＞0，
當△=36-4n＞0，即n＜9，
則當n＜9時，f′（x）＞0，解得x＜-3-

9-n

或x＞-3+

9-n

．
故函數(shù)的增區(qū)間為(-∞，-3-

9-n

)，(-3+

9-n

，+∞)．
減區(qū)間為(-3-

9-n

，-3+

9-n

)．
當n≥9時，△≤0，f′（x）≥0在R上恒成立，增區(qū)間為（-∞，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)在研究函數(shù)的單調性方面的應用，要注意對相應的參數(shù)進行討論，確定不等式的解，從而得到原函數(shù)的單調區(qū)間．