Question

設函數f（x）=px-

p

x

-2lnx
（Ⅰ）若函數f（x）在其定義域內為單調函數，求實數p的取值范圍；
（Ⅱ）設g（x）=

2e

x

，若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，可得f′（x）=

px2-2x+p

x2

，令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，只需h（x）在（0，+∞）內滿足h（x）≥0恒成立．進行分類討論：當p=0時，f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調減函數；當p＞0時，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，只需h（x）在（0，+∞）內滿足h（x）≥0恒成立，從而可求p的取值范圍；p＜0時，f（x）在（0，+∞）內為單調減函數；
（Ⅱ）確定g(x)=

2e

x

在[1，e]上的最值，再分類討論：（1）當p≤0時，f（x）_min=f（1）=0，不合題意；（1）當0＜p＜1時，不合題意；（3）當p≥1時，只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），從而可求實數p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，可得f′（x）=

px2-2x+p

x2

令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在其定義域（0，+∞）內為單調函數，只需h（x）在（0，+∞）內滿足h（x）≥0恒成立．
（1）當p=0時，h（x）=-2x＜0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞），內為單調減函數，故p=0符合條件．…（3分）
（2）當p＞0時，函數h（x）=px²-2x+p的對稱軸為x=

1

p

∈(0，+∞)，∴h(x)min=p-

1

p

．
只需p-

1

p

≥0，∵p＞0，∴p≥1．…（5分）
（3）當p＜0時，h（x）_max=h（0）=p．只需p≤0，此時f′（x）≤0．
∴f（x）在（0，+∞）內為單調減函數，故p＜0符合條件．
綜上可得，p≥1或p≤0為所求．…（6分）
（Ⅱ）∵g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，即g（x）∈[2，2e]
（1）當p≤0時，由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上遞減，f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意．…（8分）
（2）當0＜p＜1時，由x∈[1，e]，x-

1

x

≥0，
由（2）知當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數，f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2＜2，不合題意
．…（10分）
（3）當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數，f（1）=0＜2，
又g(x)=

2e

x

在[1，e]上是減函數，故只需f（x）_max＞g（x）_min（x∈[1，e]），
∵f（x）_max=f（e）=p（e-

1

e

）-2，g（x）_min=2，
∴p（e-

1

e

）-2＞2，
∴p＞

4e

e2-1

．
綜上，實數p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查存在性問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．