Question

直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）a為何值時，以AB為直徑的圓過原點？
（2）是否存在實數(shù)a，使|

OA

|=|

OB

|且

OA

+

OB

=λ（2，1）？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）將y=ax+1代入方程3x²-y²=1，得（a²-3）x²+2ax+2=0，設交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB為直徑的圓經過圓點，得x₁x₂=-y₁y₂，由此能求出a=±1．
（2）假設存在實數(shù)a滿足條件，則（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（2，1），x12+y12=x22+y22，由此能求出存在a=-2滿足條件．

解答： 解：（1）將y=ax+1代入方程3x²-y²=1，
得3x²-（ax+1）²=1，
整理，得（a²-3）x²+2ax+2=0，
設交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

2a

a2-3

，x₁x₂=

2

a2-3

，
所以，y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²•x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=1
因為以AB為直徑的圓經過圓點
所以OA⊥OB，故OA與OB的斜率的乘積為-1．
∴x₁x₂=-y₁y₂，
即

2

a2-3

=-1，解得a=±1．
（2）假設存在實數(shù)a滿足條件．
∵

OA

+

OB

=λ（2，1），∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（2，1），
又|

OA

|=|

OB

|，∴x12+y12=x22+y22，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2λ（x₁-x₂）+λ（y₁-y₂）=0，
∴a=

y1-y2

x1-x2

=-

2λ

λ

=-2．
故存在a=-2滿足條件．

點評：本題考查以AB為直徑的圓過原點時實數(shù)a的值的求法，考查是否存在實數(shù)a，使|

OA

|=|

OB

|且

OA

+

OB

=λ（2，1）的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．