Question

如圖在四面體D-ABC中，OA、0B、OC兩兩垂直，且OB=OC=3，OA=4．給出以下判斷：
①存在點D（D點除外），使得四面體D-ABC有三個面是直角三角形；
②存在點D，使得點D在四面體D-ABC外接球的球面上；
③存在唯一的點D使得DD⊥平面ABC；
④存在唯一的點D使得四面體D-ABC是正棱錐；
⑤存在無數(shù)個點D，使得AD與BC垂直且相等．
其中正確命題的序號是

①②⑤

（把你認(rèn)為正確命題的序號填上）．

Answer 1

分析：對于①，取AD=4，DB=DC=3，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形；
②先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可；
③利用面面垂直，可知存在無數(shù)個點，使得DC⊥平面ABC；
④根據(jù)對稱性，可知在平面ABC的兩側(cè)均存在點D使得四面體D-ABC是正棱錐；
⑤取DB=DC，由于AB=AC，取BC中點E，可得AE⊥BC，DE⊥BC，從而BC垂直面AED，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等，由此可得結(jié)論．

解答：解：對于①，∵四面體OABC的三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，OB=OC=3，OA=4，∴AC=AB=5，AB=3

2

，當(dāng)四面體D-ABC與四面體O-ABC一樣時，即取AD=4，DB=DC=3，四面體ABCD的三條棱DA、DB、DC兩兩垂直，此時點D，使四面體ABCD有三個面是直角三角形，故①正確；
②先找到四面體OABC的內(nèi)接球的球心P，使半徑為r，只需PD=r即可，∴存在無數(shù)個點D，使點O在四面體ABCD的外接球面上，故②正確；
③利用面面垂直，可知存在無數(shù)個點，使得DC⊥平面ABC，故③不正確；
④根據(jù)對稱性，可知，在平面ABC的兩側(cè)均存在點D使得四面體D-ABC是正棱錐，故④不正確；
⑤取DB=DC，由于AB=AC，取BC中點E，可得AE⊥BC，DE⊥BC，從而BC垂直面AED，即存在點D，使CD與AB垂直并且相等，故⑤正確；
綜上知，正確命題的序號為①②⑤
故答案為：①②⑤

點評：本題主要考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，同時考查了空間想象能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及構(gòu)造法的運用，屬于中檔題．