設(shè)函數(shù)f(x)=loga(1-x),g(x)=loga(1+x),(a>0且a≠1).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),判斷函數(shù)F(x)的奇偶性并證明;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程g(m+2x-x2)=f(x)有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a>1時(shí),不等式f(n-x)>
12
g(x)對(duì)任意x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)n的范圍.
分析:(Ⅰ)利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)F(x)的奇偶性;
(Ⅱ)利用方程g(m+2x-x2)=f(x)有實(shí)數(shù)根,建立m的方程求出m的范圍;
(Ⅲ)利用不等式恒成立,求實(shí)數(shù)n的范圍.
解答:解:(I)要使函數(shù)(x)=f(x)-g(x)有意義,
1-x>0
1+x>0
,解得-1<x<1,
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
∵F(x)=f(-x)-g(-x)=loga(1+x)-loga(1-x)
=-[f(x)-g(x)]=F(-x),
∴F(x)=f(x)-g(x)是奇函數(shù);
(II)方程g(m+2x-x2)=f(x)有實(shí)數(shù)根,
loga[1+(m+2x-x2)]=loga(1-x)
∴1+m+2x-x2=1-x,
即m=x2-3x有實(shí)數(shù)根,
由-1<1-x<1,得0<x<2.
又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x<1},
∴此時(shí)0<x<1.
∵m=x2-3x=(x-
3
2
)2-
9
4
,0<x<1,
∴-2<m<0.
(Ⅲ)∵f(n-x)=loga(1-n+x),
1
2
g(x)=
1
2
loga(1+x)
,
∴由a>1且f(n-x)>
1
2
g(x)
1-n+x>
1+x
,
設(shè)t=
1+x
,則1≤t≤
2
,
∴不等式等價(jià)為t2-n>t,
即n<t2-t,
設(shè)g(t)=t2-t,則g(t)=(t-
1
2
)2-
1
4
,
∴當(dāng)t=1,即x=0時(shí),g(t)有最小值0.
∴n<0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì),考查函數(shù)恒成立問題,綜合性較強(qiáng),難度較大.
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