Question

3．過橢圓$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$右焦點的直線$x+y-\sqrt{3}=0$交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為$\frac{1}{2}$，則橢圓M的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由直線方程，代入橢圓方程，求得焦點坐標，利用中點坐標公式及點差法即可求得a和b的關(guān)系，又由c=$\sqrt{3}$，即可取得a和b的值，求得橢圓方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
直線$x+y-\sqrt{3}=0$過橢圓的焦點，則焦點坐標為（$\sqrt{3}$，0），
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．
將A、B代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{^{2}}$=1①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{^{2}}$=1②，
相減可得：①-②得到-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，
又OP的斜率為$\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴a²=2b²，又c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得a²=6，b²=3．
橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，利用作差法求橢圓的焦點弦公式，考查計算能力，屬于中檔題．