Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在線段PD上存在點E使得BE⊥CE，求線段AD的取值范圍，并求當(dāng)線段PD上有且只有一個點E使得BE⊥CE時，二面角E-BC-A正切值的大�。�

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，以BC為直徑的球與線段PD有交點，因此設(shè)BC的中點為O（即球心），取AD的中點M，連接OM，作ME⊥PD于點E，連接OE．要使以BC為直徑的球與PD有交點，只要OE≤OC即可，設(shè)OC=OB=R，算出ME=，從而得到OE²=9+≤R²，解此不等式得R≥2，所以AD的取值范圍[4，+∞）．最后根據(jù)AD=4時，點E在線段PD上惟一存在，結(jié)合二面角平面角的定義和題中數(shù)據(jù)，易得此時二面角E-BC-A正切值．
解答：解：若以BC為直徑的球面與線段PD有交點E，由于點E與BC確定的平面與球的截面是一個大圓，則必有BE⊥CE，因此問題轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點．
設(shè)BC的中點為O（即球心），再取AD的中點M，
∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵矩形ABCD中，O、M是對邊中點的連線
∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD，
作ME⊥PD交PD于點E，連接OE，
則OE⊥PD，所以O(shè)E即為點O到直線PD的距離，
又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，點P，D在球O外，
∴要使以BC為直徑的球與線段PD有交點，只要使OE≤OC（設(shè)OC=OB=R）即可．
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=，
∴OE²=9+ME²=9+
 令OE²≤R²，即9+≤R²，解之得R≥2；
∴AD=2R≥4，得AD的取值范圍[4，+∞），
當(dāng)且僅當(dāng)AD=4時，點E在線段PD上惟一存在，
此時作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，連接EK，
可得BC⊥平面EHK，∠EKH即為二面角E-BC-A的平面角
∵以BC為直徑的球半徑R==OE，∴ME==，
由此可得ED==3，所以EH===
∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK
∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH==
即二面角E-BC-A的平面角正切值為．
點評：本題給出特殊四棱錐，探索空間兩條直線相互垂直的問題，并求二面角的正切值，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知識點，屬于中檔題．