Question

已知f(x)=

1

4x+m

(m＞0)，當(dāng)x₁、x₂∈R且x₁+x₂=1時(shí)，總有f(x1)+f(x2)=

1

2

．
（1）求m的值；
（2）設(shè)數(shù)列a_n滿足an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)，求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，取，取x1=x2=

1

2

求得f（

1

2

）的值，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)解析式求得m的值．進(jìn)而把m代入函數(shù)解析式求得f（x₁）+f（x₂）=

1

2

恒成立，進(jìn)而可知m的值．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n

n

)，an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

0

n

)兩式，根據(jù)已知條件求得2an=

n+1

2

，進(jìn)而求得a_n．

解答：解：（1）依題意，取x1=x2=

1

2

得f(

1

2

)=

1

4

，
即

1

4 +m

=

1

4

，所以m=2．
當(dāng)m=2時(shí)，?x₁、x₂∈R，x₁+x₂=1，
有f(x1)+f(x2)=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

═

4+(4x1+4x2)

4x1+x2+2(4x1+4x2)+4

=

1

2

，
所以m=2．
（2）an=f(

0

n

)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n

n

)，an=f(

n

n

)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

0

n

)
兩式相加，并由已知得2an=

n+1

2

，
所以an=

n+1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了恒等、定值問(wèn)題，倒序相加求數(shù)列通項(xiàng)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．