Question

已知a，b是正數(shù)，且滿足2＜a+2b＜4．那么a²+b²的取值范圍是（　　）

Answer 1

分析：在aob坐標系中，作出不等式表示的平面區(qū)域，得到如圖的四邊形ABCD．由坐標系內(nèi)兩點的距離公式可得z=a²+b²表示區(qū)域內(nèi)某點到原點距離的平方，由此對圖形加以觀察可得a²+b²的上限與下限，即可得到本題答案．

解答：解：以a為橫坐標、b為縱坐標，在aob坐標系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面區(qū)域，
得到如圖的四邊形ABCD內(nèi)部，（不包括邊界）
其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）
設(shè)P（a，b）為區(qū)域內(nèi)一個動點，
則|OP|=

a2+b2

表示點P到原點O的距離
∴z=a²+b²=|OP|²，
可得當P與D重合時，P到原點距離最遠，
∴z=a²+b²＜(

42+02

)2=16
可得當P點在直線BA上，且滿足OP⊥AB時，
P到原點距離最近，等于

1×2

12+22

=

2 5

5

∴z=a²+b²＞(

2 5

5

)2=

4

5

綜上所述，可得a²+b²的取值范圍是（

4

5

，16）
故選：B

點評：本題給出二元一次不等式組，求z=a²+b²的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和平面內(nèi)兩點間的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．