Question

若△ABC的三邊長a、b、c滿足a²-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0，則它的最大內角的度數(shù)是（　　）

A．150°

B．135°

C．120°

D．90°

Answer 1

分析：聯(lián)立已知的兩等式，把a看作已知數(shù)解得b，c，顯然c＞b，假設c＞a，列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范圍，剛好符合題意，得到三角形最大邊為c，由余弦定理表示出cosC，將表示出的c及b代入，整理后求得cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到C的度數(shù)．

解答：解：把a²-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0聯(lián)立可得，b=

(a-3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

，顯然c＞b．
接下來比較c與a的大小，
由b=

(a-3)(a+1)

4

＞0，解得：a＞3或a＜-1（為負數(shù)，舍去），
假設c=

a2+3

4

＞a，解得：a＜1或a＞3，其中a＞3剛好符合，
∴c＞a，即三角形最大邊為c，
∴△ABC中C為最大角，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2ab•cosC，
將b=

(a-3)(a+1)

4

，c=

a2+3

4

代入得：(

a2+3

4

)2=a2+[

(a-3)(a+1)

4

]2-2a•

(a-3)(a+1)

4

•cosC，
解得：cosC=-

1

2

，又C為三角形的內角，
則C=120°．
故選C

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：一元二次不等式的解法，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的思路為：根據(jù)已知的兩等式用a表示出b與c，判斷出c為最大邊，C為最大角，然后利用余弦定理及特殊角的三角函數(shù)值來解決問題．