Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率為，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、，即可得結(jié)果；（2）先判斷直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消，得，由在直線上求得，利用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式求得，利用基本不等式可得結(jié)果.

（1）由橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，得，解得，所以橢圓的方程為.

（2）易得直線的方程為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)不在直線上，故直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消，得，所以.

設(shè)，，

則，.由,

所以的中點(diǎn),

因?yàn)?/span>在直線上，所以，解得，

所以，得，且，

，

又原點(diǎn)到直線的距離，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，符合，且，所以面積的最大值為.