Question

9．如圖．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D在棱BC上，AD⊥C₁D．
（1）求證：平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁：
（2）求證：A₁B∥平面C₁AD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥C₁D，AD⊥CC₁，由此能證明平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁．
（2）連結(jié)A₁C，交AC₁于O，連結(jié)OD，推導(dǎo)出OD∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面C₁AD．

解答 證明：（1）∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D在棱BC上，
AD⊥C₁D，AD⊥CC₁，C₁D∩CC₁=C₁，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
∵AD?平面C₁AD，
∴平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁．
（2）連結(jié)A₁C，交AC₁于O，連結(jié)OD，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D在棱BC上，AD⊥C₁D．
平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁，
∴D是BC中點(diǎn)，O是A₁C中點(diǎn)，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?平面C₁AD，OD?平面C₁AD，
∴A₁B∥平面C₁AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直和線(xiàn)面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．