Question

對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足：
①在內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[]，使在上的值域為；
那么把函數(shù)（）叫做閉函數(shù)．
(1) 求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；
(2) 若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）或或 ，（2）.

試題分析：（1）新定義的問題，首先按新定義進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化. 由題意，在[]上遞增，則解得或或,（2）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域為[],可證明函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因此∴ ∴ 為方程的兩個實數(shù)根. 即方程有兩個不相等的實根. 或解得，綜上所述，
試題解析：[解析]（1）由題意，在[]上遞增，則，
解得或或   
所以，所求的區(qū)間為[-1，0]或[-1，1]或[0，1] .     6分（解得一個區(qū)間得2分）
（2）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，
函數(shù)的值域為[]                        6分
容易證明函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
∴                          8分
∴ 為方程的兩個實數(shù)根.             10分
即方程有兩個不相等的實根.
或               14分
解得，綜上所述，                  16分