Question

已知直線y=-x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點．
（1）若橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，求橢圓方程；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的長；
（3）若橢圓的離心率e∈(

2

2

，1)，向量

OA

與向量

OB

互相垂直（其中O為坐標原點），求橢圓的長軸的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率為

3

3

，焦距為2，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理結合弦長公式，可求線段AB的長；
（3）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合橢圓的離心率e∈(

2

2

，1)，向量

OA

與向量

OB

互相垂直，即可求得橢圓的長軸的取值范圍．

解答：解：（1）∵e=

c

a

=

3

3

，2c=2，∴a=

3

，b=

a2-c2

=

2

∴橢圓的方程為

x2

3

+

y2

2

=1…（3分）
（2）聯立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

消去y得：5x²-6x-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x1+x2=

6

5

x1x2=-

3

5

∴|AB|=

1+(-1)2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

…（8分）
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0整理得a²+b²＞1（*）
又x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0整理得：a²+b²-2a²b²=0
∴b²=a²-c²=a²-a²e²
代入上式得∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)2a2=1+

1

1-e2

∵e∈(

2

2

，1)
∴a2＞

3

2

滿足（*）式，
∴2a＞

6

…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．