設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項的和為，對于任意正整數(shù)m,n, 恒成立.

(Ⅰ)若=1,求及數(shù)列的通項公式;

(Ⅱ)若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.

 

【答案】

(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ)參考解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ)通過令，可求得.同理可以求出.由于所給的等式中有兩個參數(shù)m,n.所以以一個為主元，讓另一個m=1,和m=2取特殊值通過消去即可得到一個關(guān)于與的遞推式.從而可求出的通項式，從而通過，可求出通項.但前面兩項要驗證是否符合.

(Ⅱ)因為已知，所以令.即可求得與的關(guān)系式.再利用.又得到了一個關(guān)于與的關(guān)系式.從而可得與的關(guān)系式.又根據(jù)與.可求出.再根據(jù)及.即可求出結(jié)論.最后要驗證前兩項是否成立.

試題解析：（1）由條件，得 ①

在①中，令，得 ②

令，得 ③

③/②得，記，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。

④

時，， ⑤

④-⑤，得，當(dāng)n≥3時，{}是等比數(shù)列.

在①中，令，得，從而，則，所以.

又因為，所以 2分

在①中，令，得，則⑥

在①中，令，得，則⑦

由⑥⑦解得： 6分

則，由

得

又，也適應(yīng)上式，所以. 8分

（2）在①中，令，得，則，所以；

在①中，令，得，則，所以，則，；代入式，得 12分

由條件得

又因,所以

故，

因為，也適應(yīng)上式，所以

所以數(shù)列是等比數(shù)列． 14分

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推思想.2.數(shù)列通項與前n項和的轉(zhuǎn)化關(guān)系.3.歸納推理的思想.4.消元方程化簡的能力.

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，若對任意的正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．

（Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）如果，求數(shù)列的前項和。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三上學(xué)期期末模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，對于任意的，成等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則對任意的實(shí)數(shù)（是自然對數(shù)的底）和任意正整數(shù)，小于的最小正整數(shù)為（   ）

A．               B．               C．               D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆江蘇南通市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù).若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“Jk型”數(shù)列．

（1）若數(shù)列是“J2型”數(shù)列，且，，求；

（2）若數(shù)列既是“J3型”數(shù)列，又是“J4型”數(shù)列，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

【解析】1）中由題意，得，，，，…成等比數(shù)列，且公比，

所以．

（2）中證明：由{}是“j4型”數(shù)列，得，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為t. 由{}是“j3型”數(shù)列，得

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年吉林省高三沖刺考試數(shù)學(xué)文卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，若對任意的正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．

   （Ⅰ）求證數(shù)列是等差數(shù)列；

   （Ⅱ）如果，求數(shù)列錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。的前錯誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對象。項和。

 

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