Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，且滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f（x）=2^x-1，則函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=lg（|x|）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

1. A.
   16
2. B.
   18
3. C.
   20
4. D.
   無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

B
分析：由已知條件可得出函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性，并畫(huà)出圖象即可得出答案．
解答：∵函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期為2的函數(shù)．
先作出當(dāng)x∈[0，1]時(shí)f（x）=2^x-1的函數(shù)圖象，
由圖象可知：0≤f（x）≤1．
又∵函數(shù)y=f（x）（x∈R）為偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)的圖象與x∈[0，1]時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
再根據(jù)其周期性即可作出整個(gè)函數(shù)y=f（x）的圖象．
先作出函數(shù)y=lgx（x＞0）時(shí)的圖象，
又函數(shù)y=lg|x|在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時(shí)是偶函數(shù)，因此函數(shù)y=lg|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
當(dāng)1≤x≤10時(shí)，0≤lgx≤1，此時(shí)函數(shù)y=f（x）與此圖象有9個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)0＜x＜1或10＜x時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=lgx無(wú)交點(diǎn)；
又∵函數(shù)y=f（x）與y=lg|x|都是偶函數(shù)，∴當(dāng)x＜0時(shí)也有9個(gè)交點(diǎn)，
故共有18個(gè)交點(diǎn)．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是解題的關(guān)鍵．