Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.7182…，如果對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對(duì)x∈（0，3e]進(jìn)行分區(qū)間討論，求出f（x）的最大值，令最大值小于4e²，解不等式求出a的范圍．

解答：解：f'（x）=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）．
①當(dāng)0＜x≤1時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②當(dāng)1＜x≤3e時(shí)，由題意，首先有f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²，解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

由（I）知f′（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2lnx+1-

a

x

），
令h（x）=2lnx+1-

a

x

，則h（1）=1-a＜0，h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1-

a

3e

≥2ln3e+1-

3e+ 2e ln3e

3e

=2（ln3e-

1

3 ln3e

）＞0
又h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為x₀
則1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，從而，當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（x₀，a）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）內(nèi)是增函數(shù)，在（x₀，a）內(nèi)是減函數(shù)，在（a，+∞）內(nèi)是增函數(shù)
所以要使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有

f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2 f(3e)=(3e-a)2ln3e≤4e2

有h（x₀）=2lnx₀+1-

a

x0

=0得a=2x₀lnx₀+x₀，將它代入f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2得4x₀²ln²x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函數(shù)4x²ln²x在（1，+∞）上是增函數(shù)故1＜x₀≤e
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函數(shù)2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數(shù)，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e-a）²ln3e≤4e²解得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e+

2e

ln3e

，
所以得3e-

2e

ln3e

≤a≤3e
綜上，a的取值范圍為3e-

2e

ln3e

≤a≤3e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值的概念，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等分析問題和解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出導(dǎo)數(shù)，利用二次求導(dǎo)和函數(shù)零點(diǎn)分區(qū)間計(jì)論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到原函數(shù)的單調(diào)性，本題屬于難題．