Question

在直角坐標xoy中，已知A（1，1），B（3，3），試在x軸的正半軸上求一點P，使∠APB最大．

Answer 1

考點：直線的傾斜角

專題：直線與圓

分析：設P（x，0），其中x＞0，（1）當x=1時可得∠APB=

π

2

-arctan

3

2

＜arctan（

6

2

+1）；（2）當x=3時可得∠APB=

π

2

-arctan

1

2

＜arctan（

6

2

+1）；（3）當x≠1且x≠3時可得tan∠APB=

2

x+ 6 x -4

，由基本不等式可得．

解答： 解：設P（x，0），其中x＞0，
（1）當x=1時，PA垂直于x軸，k_BP=

3

2

，
∴∠APB=

π

2

-arctan

3

2

＜arctan（

6

2

+1）；
（2）當x=3時，PB垂直于x軸，k_AP=-

1

2

，
∴∠APB=π-arctan

1

2

-

π

2

=

π

2

-arctan

1

2

＜arctan（

6

2

+1）；
（3）當x≠1且x≠3時，k_AP=

1

1-x

，k_BP=

3

3-x

，
tan∠APB=

1 1-x - 3 3-x

1+ 1 1-x • 3 3-x

=

2x

x2-4x+6

=

2

x+ 6 x -4

≤

2

2 x• 6 x -4

=

1

6 -2

=

6

2

+1，
∴當且僅當x=

6

x

即x=

6

時，∠APB取到最大值arctan（

6

2

+1）
綜上可得當x=

6

時，∠APB取到最大值arctan（

6

2

+1）

點評：本題考查直線的傾斜角和斜率公式，涉及反三角函數(shù)和分類討論以及基本不等式，屬中檔題．