Question

已知函數(shù)（m∈R）．
（1）若在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+lnx，當(dāng)m≥-2時，求g（x）在上的最大值．

Answer 1

解：（1）因為函數(shù)在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)在[1，+∞）上恒小于等于0，且滿足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以恒成立，即在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）

要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上單調(diào)減函數(shù)，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）…（7分）

當(dāng)，即時，g'（x）≤0，
∴g（x）在上單調(diào)遞減，
∴…（9分）
當(dāng)時，由g'（x）=0得，
顯然，
∴，又
當(dāng)時，g'（x）≥0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x₂＜x≤2時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減 …（12分）
∴…（14分）

綜上所述，（1）當(dāng)時，；
（2）當(dāng)時，…（16分）
分析：（1）由題意函數(shù)（m∈R），在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷出數(shù)（m∈R）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，由此可得恒成立，即在[1，+∞）上恒成立，從中解出m的取值范圍即可
（2）可先解出，再根據(jù)m的取值的不同范圍討論函數(shù)在上的最大值
點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求最值解決恒成立的問題及分類討論的思想，本題綜合性強，計算量大極易出錯，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化