Question

在△ABC中，∠A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

m

=（cosA，1），

n

=（1，1-

3

sinA），且

m

⊥

n

．
（1）求∠A的大�。�
（2）若b+c=

3

a，求∠B，∠C的大�。�

Answer 1

考點：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由題意利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，即可確定出A的度數(shù)；
（2）已知等式利用正弦定理化簡，將sinA的值代入，并根據(jù)B+C=

2π

3

，求出B與C度數(shù)即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（cosA，1），

n

=（1，1-

3

sinA），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，
∴cosA+1-

3

sinA=0，即

3

sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

，
解得：A=

π

3

或A=π（舍去），
則A=

π

3

；
（2）將b+c=

3

a，利用正弦定理化簡得：sinB+sinC=

3

sinA=

3

2

，B+C=

2π

3

，即B=

2π

3

-C，
∴sin（

2π

3

-C）+sinC=

3

2

，即2sin

π

3

cos（

π

3

-C）=

3

2

，
∴cos（

π

3

-C）=

3

2

，
∵0＜C＜

2π

3

，
∴C-

π

3

=

π

6

或

π

3

-C=

π

6

，
解得：C=

π

2

或C=

π

6

，
當C=

π

2

時，B=

π

6

；當C=

π

6

時，B=

π

2

．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．